线性代数的本质
1 序言
矩阵乘法（matrix multiplication）、行列式（determinant）、叉积（cross products）
为什么叉积和行列式有所关联？
特征值究竟代表了什么？（eigen value）
数值计算和几何直观
2 向量是什么
物理学上，向量=方向和大小
计算机专业，向量=数字列表
数学专业，向量的运算，向量加法和向量数乘，线性代数中，向量都是以原点为起点。
向量的数乘和向量的加法
直观的图形解释可以查看动画
3 线性组合和基
向量坐标中有两个特别的向量，$\hat{i}$和$\hat{j}$，二维空间中的向量都可以使用这两个基向量表示。另外除了这两个特殊的向量，对于任何两个不共线的向量，也可以表示二维空间中的任意向量。
向量的张成表示向量的线性组合能表示的空间组合。
线性相关的向量不对向量的张成有任何贡献，只有线性无关的向量才能增加向量的张成。
空间的一组基（span）的严格定义：张成该空间的一个线性无关向量的集合。
4 矩阵与线性变换
线性变换的概念以及它和矩阵的关系。变换意味着输入、输出。
向量的变换可以转换为向量对于一个变换矩阵的乘积。
如果变换矩阵中的元素是线性相关的，那么变换后的维度将会降低。
从线性变换的角度来思考矩阵乘法、行列式、基变换和特征值。
5 矩阵乘法与矩阵变换
线性变换由基向量的变换决定。矩阵相乘的几何意义就是两个线性变换相继作用。函数复合时f(g(x))和矩阵MN都是需要从右向左进行变换的。
6 三维空间中的线性变换
三维空间中的线性变换和二维空间中的线性变换类似，可以看作是$\hat{i}$、$\hat{j}$和$\hat{k}$的变换即可。
7 行列式
行列式测量了对变换影响的程度，二维空间中的变换矩阵的行列式表示了变换面积的大小。
如果一个矩阵的行列式是0，那么这个矩阵所代表的变换将空间压缩到更小的维度下。
另外行列式也可能是负数，这意味着变换旋转了180度。
三维空间中的变换矩阵的行列式表示了变换体积的大小。三维空间中的变换矩阵的行列式为0意味着将三维空间压缩到二维空间、线或者点。三维空间中的变换矩阵为负数，表示和右手定理不符合。
8 逆矩阵、列空间与零空间
高斯消元法
逆变换来解释方程解，$Ax=b$等价于$x=A^{-1}b$，求解过程$A^{-1}Ax=A^{-1}b$，如果$det(A) \neq 0$，但是$det(A) = 0$，那么矩阵的逆不存在，解依然存在。
变换为平面的情况下，矩阵的秩为2，变换为直线的情况下，矩阵的秩为1，变换为点的情况下，矩阵的秩为0。这里秩（Rank）代表了变换后的空间的维数。对于3维空间，秩小于3那么空间被压缩了。
不管是一条直线、一个平面还是三维空间，所有可能的变换结果的集合，称为矩阵的列向量。所以更精确的秩的定义是列空间的维数。满秩，列空间与秩相等。零向量。
9 非方阵
$2x3$的非方阵将3维空间变换到2维空间，$3x2$的非方阵将2维空间变换到3维空间中。
10 点积与对偶性
点积（dot products）。点积的理解为对偶性。